بخش اول: زاویه و مثلث... 7 بخش دوم: چندضلعی بخش دوم: مساحت مثلث بخش سوم: مساحت چهارضلعیها بخش اول: نسبت و تناسب تالس...

Transcript

1 فصل : هندسه و استدالل... 7 بخش اول: زاویه و مثلث... 7 بخش دوم: چندضلعی... 8 پرسشهای چهارگزینهای... 5 پاسخنامهی تشریحی فصل اول... 3 فصل : مساحت و قضیهی فیثاغورس بخش اول: قضیهی فیثاغورس بخش دوم: مساحت مثلث بخش سوم: مساحت چهارضلعیها بخش چهارم: مساحت چندضلعیهای منتظم پرسشهای چهارگزینهای پاسخنامهی تشریحی فصل دوم فصل 3: تشابه...8 بخش اول: نسبت و تناسب تالس... 8 بخش دوم: تشابه پرسشهای چهارگزینهای پاسخنامهی تشریحی فصل سوم فصل 4: شکلهای فضایی... 0 بخش اول: مکعبمستطیل منشور استوانه... 0 بخش دوم: هرم مخروط و کره... 3 پرسشهای چهارگزینهای... 0 پاسخنامهی تشریحی فصل چهارم... 6

2 شروع... و رأس به متقابل مکمل متمم زاویههای تعریف با کتابها همهی مثل را زاویه بحث دارید انتظار حتما پس میداند بنده از بهتر رو تعاریف این همهی باشد افتاده مدرسه به راهش بار یک کسی هر کنم فکر ولی کنیم چی تستها و کنکور در مسائل این حل در ما رویکرد اینکه سراغ برویم مستقیم زمان اهمیت به توجه با بیایید باشه. باید چی و هست )... و q b a با )مثال زاویهها نامگذاری 80 -a با را a زاویهی مکمل که باشد حواسمان پس +a 80=b بنویسیم باید مکملاند b و a وقتی میدهیم. نمایش میدهیم. نشان 90 باa - را a متمم شکل در مثال کنید نامگذاری a با را میآیند وجود به که برابری زاویههای زاویه نیمساز رسم از بعد بالفاصله است: y زاویهی نیمساز d زیر d y کدام کوچکتر زاویهی باشد دیگری متمم برابر چهار یکی اندازهی اگر یکدیگرند. مکمل زاویه دو 5 )4 75 )3 60 ) 30 ) بنویسیم: ریاضی زبان به را مسئله فرضهای بیایید حاال مینامیم. b و a را زاویه دو )( گزینهی 7 kºh µ α» β : α+ β= ( β) + β= β= 80 3β= 80 SwH β µt oho ni a α: α= 490 ( β) β= 60 α= 0 است. 60 اندازهاش که است b کوچکتر زاویهی پس زاویهی نیمساز است عمود بر روبهرو شکل در بیابید. را اندازهی است. زاویهی نیمساز و است 4 3

3 زاویهی نیمساز زاویهها. نامگذاری سراغ برویم سریع اول یادتان b بنویسیم 3 جای به میگذاریم a رو و اسم پس است 4 = = +a پسb است زاویهی نیمساز هم که نرفته نتیجه: در است عمود بر طرفی از بود خواهد ^ Þ = Þ = 90 Þ b+ ( a+ b) = 90 Þ a+ b= 90 Þ a+ b = 45 است. 45 یعنی +a همونb زاویهی چون رسیدیم! جواب به که هست حواستان منفرجه زوایای و هم با حاده زوایای که میآید پدید زاویه هشت آنگاه کند قطع را موازی خط دو موربی خط اگر d d حادهها : = = = منفرجهها : = = = برابرند. هم با است. 80 منفرجهها از کدام هر با حادهها از کدام هر جمع که است بدیهی به باشد! چرخیده است ممکن البته که 500 y باشیم انگلیسی Z حرف یک دنبال به باید سؤالها اینگونه در مقابل: شکل در مثال عنوان میرساند. =y 50= به را ما نیز دیگر Z یک و است = 50 است چرخیده کمی البته که Z به توجه با کدام - باشد =00 و = = d اگرd زیر شکل در d d d d درجه صفر ( زاویهها: نامگذاری همه از اول )3( گزینهی = a Þ = a, = b Þ = b 0 ) 0 )3 30 )4 نتیجه: در باشد 80 باید آنها جمع پس است حاده زاویهی و منفرجه زاویهی که کنید دقت حاال 3a+ 3b= 80 Þ a+ b= 60 () 8

4 داریم: مثلث در طرفی از () = 00 Þ a+ b= = 80 ¾ ¾ ( a+ b) + b= 80 Þ b= 0 Þ a= = a- b = 40-0 = 0 تست: جواب سراغ برویم حاال نامیده مثلث اصلی اجزای که شده ساخته ضلع سهتا و زاویه سهتا از مثلث هر نآ به که میآید وجود به زاویهای بدهیم ادامه که را مثلث ضلع هر میشوند. زاویهی مقابل شکل در مثال عنوان به میشود گفته خارجیزاویهی است. مثلث خارجی = یعنی: است 80 مثلث هر داخلی زوایای مجموع = + غیرمجاور: داخلی زاویهی دو مجموع با است برابر خارجی زاویهی هر کنید. نامگذاری یکسان نامهای با را مساوی زاویههای است. 80 مثلث هر داخلی زوایای مجموع که باشد حواستان است. تأثیرگذار مسئله راه کوتاهشدن در فوقالعاده اوقات گاهی کنید توجه خوب خیلی خارجی زاویههای به کنیم: اجرا زیر تستهای در را باال مراحل بیایید نیمساز و زاویهی داخلی نیمساز مقابل شکل در درجه چند زاویهی باشد = 50 اگر است. زاویهی خارجی 5 ) 5 ) 75 )4 50 )3 = = a, = = b Â]nIi Á ¾Ä»Hp : β= α+ Â]nIi Á ¾Ä»Hp + : β = α + β= α+ = = 50 = 5 β= α+ کنیم: نامگذاری را مساوی زاویههای )( گزینهی داریم: )!( زیبا خارجی زاویهی دوتا بگردیم خارجی زاویهی دنبال باید حاال

5 . a+ b= + y کنید: ثابت روبهرو شکل در y میگیریم: کمک خارجی زاویهی از حاال میکنیم وصل به از y Â]nIi Á ¾Ä»Hp αα : = + y y α+ β= + y Â]nIi Á ¾Ä»Hp ββ : = + y میکند قطع زاویه کدام با را ضلع زاویهی داخلی نیمساز است. = 50 + مثلث در 75 )4 60 )3 70 ) 65 ) درون نیمساز که را زاویههایی از کدام هر و = 50 + b نتیجه در و b را زاویهی )( گزینهی داریم: صورت این در مینامیم a را میکند ایجاد زاویهی 500 خارجی زاویهی : = α+ β α= β ( ) داریم: مثلث در طرفی از و : ( ) () + + = Þ = ¾ ¾ + + ( b a b -b ) + = 80 Þ = Þ 30 = 65 87( ریاضی )سراسری درجه چند زاویهی است. = 40 و 5= زیر شکل در ) 0) 50 5 )3 5 )4 بنابراین: است مثلث خارجی زاویهی زاویهی )( گزینهی 5 = 90 + Þ = 5-90 = 35 = 80 -( ) = 40 داریم: مثلث در نتیجه در = 80 -( ) = 50 که است واضح طرفی از = 80 -( + ) = 80 -( ) = 05 داریم: آمدند دست به و که حاال 0

6 به مثلثی که دارای دو ضلع برابر باشد متساویالساقین میگوییم به دو ضلع برابر ساق و به ضلع سوم قاعده گفته میشود. رأس مشترک دو ساق را رأس اصلی یا بعضی اوقات به صورت مختصر»رأس«مینامند. مثال در شکل مقابل رأس و قاعده است. یادتان هست که مهمترین اتفاق در مثلث متساویالساقین این بود که زوایای پای ساقها با هم برابرند. به بیان ریاضی داریم: = Û = حاال اگر احیانا قاعده هم با ساقها مساوی شد دیگه به این مثلث متساویالساقین خاص متساویاالضالع میگوییم که در پیشدبستانی بود که فکر کنم فهمیدیم همهی زاویههایش 60 اند! 800 زاویهها را به یکی از دو صورت زیر نامگذاری کنید: () () در صورتیکه نامگذاری به صورت شکل )( باشد دقت کنید که زاویهی خارجی رأس برابر a میشود. راهبردهای حل مسائل زاویه در مثلث را در اینجا هم باید در نظر بگیریم. )میگی چرا خب مثلث متساویالساقین هم یه نوع مثلثه دیگه!( بیایید مراحل باال را در تست زیر پیاده کنیم: در شکل زیر = زاویهی چند درجه 36 ) 7 ) 30 )3 60 )4

7 سپ = شکل به توجه با چون صورت این در بنامیم a را زاویهی )( گزینهی = چون و میشود a با برابر است خارجی زاویهی که نتیجه در = =a مثلث در طرفی از میشود = =a یعنی = که کنید دقت حاال خب. = a= پس است لذا: است 80 زوایا مجموع + + = 80 Þ a+ a+ a= 80 Þ 5a= 80 Þ a= 36 )9 ریاضی )سراسری درجه چند N زاویهی N = و = N. = a = 7 نتیجه: در = 58 زیر شکل در 58 ) 59 ) 6) N 800 داریم: شکل در موجود نامگذاری مطابق )3( گزینهی 6 )4 : + + = ( 80 α ) + ( 80 β ) = 80 α+ β= 38 α+ β= 9 = 80 ( α+ β) = 80 9 = 6 و بوده و رئوس آنها رأسهای که باشد متساویالساقین مثلث دو مثلث در اگر کلی طور به امتداد )یا قاعدهها برخورد از حاصل زاویهی باشد منطبق اضالع بر آمده وجود به مثلثهای ساقهای. = 90 - با: است برابر همواره قاعدهها( () ()

8 00 درجه چند = و = مقابل شکل در بیابید. خارجی زاویهی کنید سعی حاال = = a پس است = چون )( گزینهی 5 ) 0 ) 0 )3 40 )4 کنید: دقت خوب و مثلثهای به 00 خارجی زاویهی : = = α+ = = α + ( ) F خارجی زاویهی : = 0 + α + = 0 + α () ( α+ ) + = 0 + α = 0 = 0 درجه چند زاویهی است. متساویالساقین رأس به مثلث زیر شکل در 30 ) 36 ) 5 ) )4 داریم: شکل مطابق بگیریم نظر در را اگرa = )4( گزینهی F خارجی زاویهی : b = a + a = 3 a Þ = = b = 3 a داریم: مثلث در = 80 Þ a+ 3a+ 3a= 80 Þ 7a= 80 Þ a = 7 و بود وتر قائمالزاویه مثلث در قائمه زاویهی روبهروی ضلع نام که هست یادتان نصف وتر بر وارد میانهی رفته یادتان اگر قائمه. اضالع میگفتیم دیگر ضلع به قاي مچه ضلا 3 نمیماند. باقی دیگری حرف پس آمد یادتان که االن خب! ندارد ایراد است وتر = + = 90 وتر

9 900 H 900 H همهی یکی از زوایای حاده را a و دیگری راa - 90 بنامید. با رسم ارتفاع وارد بر وتر زاویهها به صورت مقابل خواهند بود: H و )در سه مثلث قائمالزاویهی شکل فوق یعنی زاویهها دوبهدو برابرند.( با رسم میانهی وارد بر وتر مثلث قائمالزاویه به دو مثلث متساویالساقین تفکیک میشود. = 4 و نقطهی در امتداد ضلع از طرف چنان قرار دارد که در مثلث 90 = است پس نصف است. اندازهی زاویهی کدام 4 )4 48 )3 36 ) 38 ) 40 گزینهی )3( میانهی وارد بر وتر را رسم میکنیم و چون زاویهی خارجی 40 = 48 ) ( 4 = خواهد بود. از طرفی نیز نصف است بنابراین: = Þ = Þ = 48 در مثلث قائمالزاویه ضلع روبهرو به زاویهی 30 نصف وتر است. d خطی است که در وسط یک ضلع بر آن عمود میشود. مهمترین ویژگی عمودمنصف یک ضلع این است که هر نقطهای روی عمودمنصف در نظر بگیریم فاصلهاش از دو سر ضلع مساوی است مثال در شکل مقابل یک نقطهی دلخواه بر روی عمودمنصف ضلع است پس = خواهد بود. در مثلث روی ضلع نقطهی را طوری انتخاب میکنیم که. = اگر عمودمنصف کدام باشد ضلع ضلع را در قطع کند و 0= ) )4 0 )3 0 ) 5 قابل تعیین نیست. گزینهی )( نقطهای روی عمودمنصف است پس داریم: = Þ = a + 00 حاال خوب زاویهی را نگاه کنید بیایید اندازهی را دو جور بنویسیم: H Â]nIi Á ¾Ä»Hp : = + = + ( α+ ) = + α + α= 0 + α = 0 = 5 = = 0 + α 4

10 بخواهید راستشو اگر اما باشید بلد دوتاشو هر نیست بد که داریم نکته دوتا مثلث در نیمسازها دربارهی نیست. پرکاربردی هم خیلی نکات : مثلث هر در )»«)شکل. = 90 + داریم: کنند قطع در را یکدیگر و زاویهی دو داخلی نیمسازهای اگر )»«)شکل. = 90 - داریم: کنند قطع در را یکدیگر و زاویهی دو خارجی نیمسازهای اگر. = داریم: کنند قطع در را یکدیگر و زاویههای از خارجی نیمساز یک و داخلی نیمساز یک اگر»3«( )شکل () (3) مساوی زاویه آن ضلع دو از زاویه یک نیمساز روی نقطه هر فاصلهی پس است نیمساز روی نقطهای مقابل شکل در مثال است. L = H یعنی است برابر و ضلع دو از فاصلهاش = 90 قائمالزاویهی مثلث در = 36 اگر است. فاصله یک به و ضلعهای از ضلع روی نقطهی و درجه چند زاویهی آنگاه باشد 69 )4 66 )3 63 ) 54 ) یعنی است برابر و از فاصلهی میگوید سؤال صورت وقتی شکل مطابق )( گزینهی نصفش پس است = 54 که کل ب خ دارد قرار زاویهی نیمساز روی یعنی البته و = مطلوب سومش زاویهی و دارد 7 زاویهی یک و 90 زاویهی یک که مثلث در برویم حاال 7 میشود است: سؤال L H () : = 80 -( ) = = = 63 که بگیریم نتیجه و است مثلث خارجی زاویهی بگوییم که میشد البته

11 حتما نمیآوردیمش اینجا اگر خب اما است گرهخورده مساحت به ارتفاع به مربوط مهم مطالب اکثر اصال تو به راجع بعد بشه صحبت میانه و عمودمنصف نیمساز دربارهی ارتفاع! جای بذار )خودتو میشد! ناراحت میافتد مثلث از بیرون گاهی که بدانید را این نیست بد ارتفاع دربارهی فقط نمیشدی!( ناراحت نشه زده حرفی دارد: حالت 3 کلی طور به بود خواهد مثلث خارج نیز ارتفاعها همرسی نقطهی صورت این در H H H H H H اینجا در قائمالزاویه مثلث ارتفاعاند. H و باشد. حاده مثلث زاویهی 3 H چند H زاویهی باشد H ارتفاع سه تالقی نقطهی اگر. = 60 و = 40 زاویهی مثلث در درجه 0) 00) 80 )4 40)3 ره که H و H مثلثهای هستیم +a دنبالb به ما زاویهها نامگذاری به توجه با )( گزینهی کنید: نگاه را قائمالزاویهاند دوتا H H ü : b = 90 - ï ý Þ a+ b= 80 -( + ) = 80 - H : a = 90 - ï þ میشود. H = a+ b= = 0 پس است = 60 چون که داریم: چهارضلعیH در ( α+ β) = α+ β= 360 α+ β= 0 میرسانیم: پایان به نکته عشق دوستان برای نکته یک با را ارتفاع بحث دو تفاضل قدرمطلق نصف با است برابر مثلث در رأس یک از رسمشده نیمساز و ارتفاع بین زاویهی دیگر. زاویهی - = H 6

12 مقابلش ضلع وسط به را رأس هر که بود پارهخطی همان میانه نشان G با و میگویند ثقل مرکز میانهها تالقی محل به میکرد. وصل میانهها که است این مثلث یک میانههای دربارهی نکته مهمترین میدهند. سه که مقابل شکل در یعنی میکنند قطع به نسبت به را یکدیگر داریم: است شده رسم مثلث میانهی.... و G برابر دو G واقع در کدام F نسبت هستند. و وسطهای N و زیر شکل لوزی در ) G G = GN GP G = G = 3 ) 4 )3 3 5 )4 میکنن!( نصف رو همدیگه لوزی قطرهای ندونه که )کیه کنیم رسم هم را قطر بیایید )( گزینهی را میانهها اخالق که است آن دیگر میانهی نیز و میانه یک کنید نگاه مثلث به خوب حاال خب هب. و نوشتیم شکل در که = یعنی: میکنند قطع به نسبت به را یکدیگر میدانید که هم داریم: پس است وسط اما y و y میشود هم F و F ترتیب همین F = Þ 3y= 3 Þ = y Þ F = F = = Þ = = 6 3 امتداد P نقطهی تا خودش اندازهی به رأس از را میانهی = فرض با مثلث در درست همواره رابطه کدام میدهیم. = ) = ) P = P )4 = P )3 هشیم هم )حالتش همنهشتاند رنگی مثلث دوتا که است معلوم کنید نگاه را زاویهها نامگذاری )3( گزینهی داریم: نتیجه در بین!( زاویهی و ضلع دو P N F P G N P@ Þ ì = P ï = P í ï î = P

13 ترتیب < آن در که مثلث در که باشد یادتان همیشه است: مقابل صورت به فرعی اجزای ایستادن مه میانهها و نیمساز ارتفاع بین فاصلهی باشد بزرگتر از چه هر این باشد نزدیکتر هم به و اندازهی چه هر و میشود بیشتر هک متساویالساقین مثلث در که جایی تا میشوند نزدیکتر هم به هم سهتا شکل میشوند. منطبق هم بر میانه و نیمساز ارتفاع است = نیمساز و ارتفاع مثال مثلثی در اگر پس میکند تأیید را ما حرف هم روبهرو و بودهاند مساوی ضلع دوتا حتما بگوییم میتوانیم شدند منطبق هم بر است. متساویالساقین مثلث کند. قطع در را ضلع تا میکنیم رسم زاویهی نیمساز بر عمودی رأس از مثلث در کدام طول باشد = 5 و = 9 اگر / 5)4 3 )3 ) 4 ) ارتفاع هم H کنید! دقت خوب مثلث به )( گزینهی پس نیمساز هم و است یعنی است متساویالساقین مثلث حتما H هن مچسا. 9-5= 4 میشود هم نتیجه در = =5 م اهنه لايرتفا () H 8

14 چهقدر آن متممهای مجموع است. 80 حاده زاویهی دو مجموع - 0 )4 00 )3 90 ) 0 ) درجه چند آنها نیمساز بین زاویهی است. دیگری برابر سه یکی اندازهی متمم و مجاور زاویهی دو در )88 تجربی سنجش )آزمایشی 30 ) 5 ) 40 )4 45 )3 تسا درجه چند زاویهی است. زاویهی مکمل اندازهی 4 برابر زاویهی اندازهی متمماند. و زاویهی دو )4 63 )3 36 ) 7 ) d c 00 a b کدام برابر همواره مقدار روبهرو شکل در -4 a+ c- b ) c-a- b ) b+ c- a )4 a+ b- c )3 درست تساوی است.کدام و زاویهی نیمساز زیر شکل در -5 y 400 d = ) = ) = )3 = )4 درجه چند y و تفاضل است. d زیر d شکل در ) 0 ) 0 )4 35 )3 4 N درجه چند N زاویهی است. = 90 و y شکل مطابق 7-78 ) 7 ) 75 )4 8 )3 3 y کدام مقدار. = = داریم: زیر شکل در ) 45 ) 60 )3 75 )4

15 اب را مقابل ضلع مثلث دیگر زاویهی خارجی نیمساز است. درجه متساویالساقین 00 مثلث زاویههای از یکی -9 میکند قطع زاویه کدام 40 )4 30 )3 0 ) 5 ) نقطهی تا ساق اندازهی به را قاعدهی است( = 4 و = ( متساویالساقین مثلث در 0 تسا درجه چند حاصل مثلث بزرگترین زاویهی کوچکترین میکنیم. وصل به را میدهیم. امتداد )89 ریاضی سنجش )آزمایشی 34 / 5 ) 34 ) 36 )4 35 / 5 )3 85( کشور از خارج تجربی )سراسری درست نتیجهگیری کدام زیر شکل به توجه با - = ) = ) = )3 = )4 درجه چند زاویهی با d و d خط دو. 00= زاویهی و متساویالساقیناند کناری مثلث دو زیر شکل در 88( ریاضی )سراسری متقاطعاند دو از که دارد وجود نقطه چند قطر روی آنگاه = و = اگر چهارضلعی در 3 d 600 d 0 ) 50 ) 45 )3 40 )4 باشند فاصله یک به و رأس بیشمار )4 4 )3 ) ) 00 y درجه چند اندازهی زیر شکل در 4 80 ) 90 ) 00)3 0)4 درجه چند آنگاه باشد + 00=y اگر زیر شکل به توجه با 5 30) 40) 50)3 0)4 6

16 درجه چند است. d d زیر شکل در 6 d d 90 ) 60 ) N 75 )3 05 )4 درجه چند زاویهی اندازهی. = 43 و متساویالساقیناند کناری مثلث دو زیر شکل در 7 9( کشور از خارج تجربی )سراسری N 94 ) 93 ) 97 )4 96 )3 7 F درجه چند باشد = 84 اگر زیر شکل از مثلث در 8 96 ) 84 ) 58 )4 48 )3 زاویهی اندازهی. =8 و = = مقابل شکل در 9 درجه چند 6 ) 08 ) 4 )4 6 )3 کدام مقابل شکل در 0 70 ) 80 ) F )4 60 )3 00 چهقدر H ارتفاع و H ارتفاع بین حادهی زاویهی = 60 و = 40 زوایای با مثلثی در 80 )4 50 )3 60 ) 40 ) )89 تجربی )سراسری درجه چند زاویهی اندازهی. + 6= زیر شکل در - کدام همنهشت مثلث هر زاویههای است. شده تقسیم همنهشت مثلث سه به متساویاالضالع مثلث یک 3 39 ) 56 ) 58 )3 )87 کشور از خارج تجربی )سراسری 90, 30, 30 ) 60, 60, 60 ) 6)4 0, 30, 30 )4 90, 60, 30 )3

17 و داخلی نیمسازهای تالقی محل روبهرو شکل مثلث در 4 N محیط باشد 8= و N 0= اگر است. موازی N و است چهقدر N ذوزنقهی 38 ) 3 ) 45 )4 43 )3 مثلث در میدهیم. امتداد تا خود اندازهی به طرف از را ضلع متساویاالضالع مثلث در 5 کدام زاویهها نسبت, 3, 5 )4, 3, 4 )3, 4, ), 3, ) خارجی نیمساز با داخلی نیمساز که زاویهای شدهاند. 7 و 4 نسبت به و زوایای مثلثی در 6 درجه چند میسازد 5 )4 75 )3 5 / 5 ) 35 ) درجه چند آن ضلع بزرگترین بر وارد ارتفاع و میانه بین زاویهی است. 55 و 35 مثلثی زاویههای اندازهی 7 5 )4 0 )3 5 ) 0 ) 8

18 90 0 y y y 90 + = + = =45 «3» ى گزینه - میگیریم: نظر در y و را حاده زاویهی دو + y= 80 ( 90 ) + ( 90 y) = 80 (+ y) = = 00 «3» ى گزینه - داریم: مسئله مفروضات به توجه با میگیریم. نظر در y و را زاویه دو + y= 90 y= 3 پس: میخواهد را + y یعنی نیمسازها بین زاویهی مسئله ندارد. زاویه دو نسبت به ارتباطی و است 45 همواره نیمسازها بین زاویهی است واضح که همانطور «4» ى گزینه -3 داریم: مسئله مفروضات به توجه با + = 90 [ + = 90 ] ( 4) [ = ( + = 9 80 = )] = = = 7 داشت: خواهیم معادله دو جمعکردن با c y d a d b ى گزینه 44 پس: هستند و F مثلث دو خارجی زاویههای c و F : خارجی زاویهی = a + b خارجی: زاویهی c a b = + = + c = + a + b = c a b F «4» ى گزینه -5 داریم: مورب و موازی خطوط قضیهی به توجه با = = α Jn¼ ôi : = = α = 3

19 d y d 6- گزینهى با توجه به شکل مقابل جمع زاویههای دو مثلث ایجادشده با هم برابر و مساوی 80 است بنابراین: + α + 60 = α + y+ 40 y = = گزینه ى «3» از N خطی به موازات و y رسم میکنیم و طبق قضیهی خطوط موازی و مورب داریم: Nz Jn¼ ôi N N = α Nz y Jn¼ ôi N N = α N = N + N = α+ α= 3α برای محاسبهی α میدانیم جمع زاویههای چهارضلعی N برابر 360 است بنابراین: + N + + = 360 4α+ 3α+ 3α+ 90 = 360 0α= 70 α = 7 N = 3α = 8 4 N z y -8 گزینه ى «3» طبق قضیهی خطوط موازی و مورب میدانیم: = 80 Jn¼ ôi = = = = 80 + = 0 : + + = = 80 = = گزینهى «3» نیمساز خارجی رأس را رسم میکنیم تا امتداد را در قطع کند متساویالساقین 80 = = = = 40 : β+ = 80 β+ 40 = 80 β = 40 β = 70 : = = + + β = = 80 = 30 β= 70 3

20 33 ى گزینه 0 متساویالساقین : = = = متساویالساقین : = = = = 69 = = 34 / / 50 0 d 34 / 50 = 69 میباشد. 34 / 5 زاویه کوچکترین مثلث در «4» گزینهى همنهشتاند: و مثلثهای گرفت نتیجه میتوان شکل در موجود اطالعات به توجه با d N F 000 = = = (Æ pæ) oëi¹t ÁHq]H = «4» ى گزینه بنابراین: است مسئله در سؤال مورد زاویهی زاویهی : + α+ β= 80 = 80 ( α+ β ) : α+ = = 80 α+ = 80 F NF: α + F = F = 80 β + F = 80 + F = F 80 α β ( ) = 360 α+ β+ 80 = 360 α+ β= 80 α+ β= 40 = 80 ( 40 ) = 40 آوریم. دست به را β و α زاویههای مجموع است کافی حال «4» ى گزینه 3 مثلث دو میکنیم ثابت ابتدا بگیرید. نظر در روی را دلخواه نقطهی همنهشتاند: و = (ÆïÆïÆ) oëi¹t ÁHq]H = = otz زیرا: بود خواهد برابر و اندازههای گیرد قرار قطر از مکان هر در نقطهی که کنید توجه حال = (Æ pï Æ) oëi¹t ÁHq]H otz Í±ò = = فاصلهاند. یک به و رأس دو از که گرفت نظر در میتوان روی مانند نقطه بیشمار پس

21 4 گزینه ى «3» با توجه به همنهشتبودن مثلثهای و اندازهی زاویهی به دست میآید: = = (Æ pï Æ) = = 0 = زاویهی خارجی مثلث = + = 80 F زاویهی خارجی مثلث = + = = 00 5 گزینهى زاویههای برابر در دو مثلث متساویالساقین را α و β مینامیم داریم: ( α+ y) + ( + β) = 360 ( + y) + ( α+ β) = y= ( α+ β) = 360 α+ β = 60 زاویههای و y زاویههای خارجی دو مثلث متساویالساقین هستند بنابراین: = β + + y= α+ β + + ( ) ( ) 00 = = 40 y= α + : + = = = 80 = 40 = 90 : α+ + β= = 80 نیمصفحه است 6 گزینه ى + =80 طبق قضیهی خطوط موازی و مورب داریم: d d : α+ α+ = 80 N N: β+ β+ = 80 + = 80 α+ β+ ( + ) = 360 α+ β= 80 α+ β= 90 α+ β= 90 7 گزینه ى زاویههای برابر در دو مثلث متساویالساقین N و را α و β مینامیم. با استفاده از زاویهی نیمصفحهی 600 F y N داریم: نیمصفحه است = 43 : α+ β+ = 80 α+ β+ 43 = 80 α+ β= 37 حال مجموع زاویههای و را محاسبه میکنیم: 34

22 : β + = 80 N: α + = 80 α β 37 α+ β+ ( + ) = = : + = = = 80 = 94 = ( 37 ) + + = = 86 حال برای محاسبهی داریم: 8 گزینه ى زاویههای برابر در دو مثلث متساویالساقین F و را α و β مینامیم. F ابتدا مجموع α و β را محاسبه میکنیم: : α+ β+ = 80 = 84 α+ β+ = α+ β= 96 α+ β= 96 = 84 = 80 α+ β+ = = 80 نیمصفحه است 9 گزینه ى «4» مثلثهای و متساویالساقیناند بنابراین: : α+ β= 80 : β+ α+ 8 = 80 3α+ 3β+ 8 = 360 3α+ 3β= 34 α+ β= 4 : = α+ β= 4 زاویهی خارجی مثلث است پس: F F = : α+ β F = F = H 840 H F و F مثلثهای ( Æ p Æ) F = = 0 گزینه ى مثلث متساویالساقین است پس = 40 هم متساویالساقین هستند و زاویهها را مطابق شکل مشخص میکنیم. داریم: زاویهی خارجی مثلث = + = = دو مثلث و F همنهشتاند زیرا: گزینهى «4» ابتدا زاویهی در مثلث را به دست میآوریم: : = = = 80 = = 80 = H H : = 80 + = 90 = 0 H : + = = 90 = 80

23 «3» ى گزینه زیرا: همنهشتاند )ضزض( حالت به و مثلث دو = = = = θ 80 θ= = (Æ pïæ) = = α, = = β + = 6 α+ β = 6 پس: است مثلث خارجی زاویهی زاویهی : = θ= α+ β = 6 : θ+ θ+ = = 80 + = 80 = 58 3 N «4» ى گزینه 3 داریم: و = = بنابراین همنهشتاند و مثلث سه = = + + = 3 = = 3 = 0 )چرا ( میباشد متساویاالضالع مثلث ثقل مرکز بنابراین اب برابر آنها دیگر زاویهی دو و متساویالساقیناند تشکیلشده مثلثهای میباشد. 30 ى گزینه 4 میآوریم: دست به را و زاویههای مورب و موازی خطوط قضیهی از استفاده با N : = β N Ã Iv²HïÁ»IvT N = N Jn¼ ôi N : = α Ã Iv²HïÁ»IvT = Jn¼ ôi N ذوزنقهی محیط : N N = p= ( N+ ) p= 8 + N = 38 N= 0 ى گزینه 5 یجراخ زاویهی زاویهی میگیریم. نظر در α متساویالساقین مثلث در را برابر زاویههای اندازهی : = α 60 = α α = 30 بنابراین: است مثلث میباشند. 90 و ترتیب به مثلث زاویههای پس 36

24 ى گزینه 6 میآوریم: دست به را مثلث زاویههای ابتدا = = 5 = = = 80 = 80 = 5 = 60 = 7 = 05 : 05 / = = = 5 5 داریم: و میکنیم استفاده زیر نکتهی از حال : با است برابر خارجی نیمساز و زاویهی داخلی نیمساز بین زاویهی مثلث هر در = «3» گزینهى 7 دراو میانهی و وتر همان ضلع بزرگترین بوده قائمالزاویه مثلث بنابراین میباشد 90 و مثلث زاویههای 550 H پس: متساویالساقیناند و مثلثهای پس است وتر نصف وتر بر : = = 35 = 70 با: است برابر و بوده مثلث خارجی زاویهی H: + = = = 90 = 0 میکنیم: استفاده زیر نکتهی از با: است برابر قائمالزاویه مثلث در وتر بر وارد میانهی و ارتفاع بین زاویهی α= H = = = 0 داریم: پس گزینهى 8 حالتی در مگر نکند قطع را خود نقطههای از هیچیک که صورتی در است مسطح خم یک ساده خم تعریف طبق کردهاند. قطع را خود خمها )4( و )3( )( گزینههای شکلهای رسم در میرسند. هم به انتهایی نقطههای که 37 «3» گزینهى 9 ندارد. را ساده خم ویژگی )3( گزینهی است! بسته سادهی خمهای به مربوط جردن خم قضیهی